sábado, 24 de marzo de 2012

FUNCIONES POLINOMIALES


CONCEPTO DE FUNCIÓN POLINOMIAL

Las funciones polinomiales y su representación gráfica, tienen gran importancia en la Matemática. Estas funciones son modelos que describen relaciones entre dos variables que intervienen en diversos problemas y/o fenómenos que provienen del mundo real.
La función polinomial se llama si porque generalmente su expresión algebraica es un polinomio; su forma general es:



Como recordaras de tus cursos de álgebra, una expresión algebraica se puede clasificar por dos características importantes:
  • a)  El número de términos que lo componen
  • b)  El grado de expresión.
Para entender lo anterior, veamos el siguiente ejemplo:




El grado de una función estará dado por el mayor de los exponentes:

    
Alguna propiedades de las funciones polinomiales
1. La gráfica de y = f (x) intercepta al eje Y en el punto (0,c)
2. La gráfica de y = f (x) intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son las raíces de la
    ecuación a xn + + a1x + a0 = 0
3. Las funciones polinomiales son funciones continuas.


Entre las funciones polinomiales se encuentran por ejemplo: las funciones constantes, las
funciones lineales, las funciones cuadráticas, las funciones cúbicas, cuyas principales
características se describirán a continuación. a)




A)    FUNCIÓN CONSTANTE

Una función constante es aquella que tiene la forma y=f(x)=c, donde c es un número real fijo.
El dominio de una función constante es IR, y su recorrido es {c}. Su gráfica es una rectaparalela (o coincidente) al eje X.


A) FUNCIÓN LINEAL

Una función lineal es aquella que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma:
y = f (x) = ax + b , con a 0 , a,bIR


Propiedades
1. El gráfico de una función lineal es siempre una línea recta.
2. El coeficiente a es la pendiente de la recta y=ax+b.
    Cuando a>0, la función lineal es creciente, y cuando a <0, la función lineal es decreciente.
3. El dominio y el recorrido de una función lineal es IR.
4. La función lineal y = f(x) = ax + b , con a 0 es inyectiva (y sobre), por lo tanto, tiene inversa. Su inversa es también una función lineal:


  Gráfica de y = ax + b , a > 0                                        Gráfica de y = ax + b , a < 0
Observación. Ecuación general de la recta
La ecuación general de una recta es Ax+By+C=0 con A 0 o B 0 .
·         Cuando B=0, la gráfica es una recta paralela al eje Y o coincidente con este eje.
·         Cuando B 0 , la gráfica es una recta que tiene pendiente igual a


 c) Función cuadrática

Una función cuadrática es aquella que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma:
       y = f (x) = ax2 + bx + c , con a 0 , a,b,c IR


Propiedades de una función cuadrática
1. El gráfico de una función cuadrática es una parábola.
2. La gráfica de y = f (x) = ax2 + bx + c intercepta al eje Y en el punto (0,c)                            La gráfica de y = f (x) = ax2 + bx + c intercepta al eje X cuando Δ = b2 4ac 0 , y
en tal caso, las abscisas de los puntos de intersección son las raíces de la ecuación
                              ax2 + bx + c = 0.
3. Su gráfica es una parábola cuyo vértice es el punto
4. La recta vertical  es una recta eje de simetría de su gráfico.
5. Si a>0 la parábola se abre hacia arriba, y si a<0 se abre hacia abajo.
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         



Gráfica de una función cuadrática y = f (x) = ax2 + bx + c
  
             a > 0 , Δ > 0                                            a > 0 , Δ = 0                                          a > 0 , Δ < 0
 a < 0, Δ > 0                                    a < 0, Δ = 0                                                 a < 0, Δ < 0

d) Función cúbica



Una función cúbica es aquella que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma:
y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d , con a 0 , a,b,c,d IR
Un ejemplo de función cúbica es la función y = f (x) = x3 , cuya gráfica es:



EJEMPLO DE PUNCIONES POLINOMIALES

  a)   f (x) = 5                              b)  f (x) = 4x +1                               c)  f (x) = x2 + 3x 1

               d)   f (x) = x3 + 2x2 x + 5                                       e)   f (x) = 0.3x4 + x + 3